Anselm vs. Gödel

Eli kyse on ontologisesta todistuksesta, sen ensimmäisestä ja yhdestä viimeisimmästä edustajasta. Tämä on itse asiassa yritys saada tolkkua näistä todistuksista. Ne eivät ole sitä, minkä varaan uskoni rakennan, mutta oma mielenkiintonsa niiillä on. On myös hyvinkin mahdollista, että ymmärrykseni menee pöpelikköön. Päälähteenä wikipedia, mutta muitakin netin tekstejä.

Anselm:

  1. On määritelmällisesti totta, että Jumala on olento, joka on suurin kuviteltavissa oleva.
  2. Jumala on mielessä oleva idea.
  3. Olio, joka on olemassa sekä ideana että realiteettina, kaiken muun pysyessä samana, on suurempi kuin olio, joka on olemassa vain ideana.
  4. Niinpä, jos Jumala on vain mielessä majaileva idea, voimme kuvitella jotain suurempaa kuin Jumala.
  5. Mutta emme voi kuvitella mitään Jumalaa suurempaa - sillä on ristiriitaista olettaa, että voimme kuvitella olion, joka on suurempi kuin kaikista kuviteltavista olevista olennoista
  6. Niinpä Jumala on olemassa.

Gödel:

  1. Määritelmä: x on Jumalan kaltainen jos vain jos x:llä on oleellisina ominasuuksina ne ja vain ne omaisuudet, jotka ovat positiiviset.
  2. Määritelmä: A on x:n olemus jos ja vain jos jokaista ominaisuutta B kohden x:llä on B jos ja vain jos A seuraa loogisesti B:stä.
  3. Määritelmä: x on välttämättä olemassa jos vain jos jokaisesta x:n olemuksesta on todellinen olemassaoleva esimerkki1. (huom. olemus ei vielä takaa, että olisi olemassa jokin olemusta vastaava konkreettinen esimerkki.)

  1. Aksiooma:Jos ominaisuus on positiivinen, silloin sen negaatio ei ole positiivien.
  2. Aksimooma: Mikä tahansa ominaisuus, joka täsmälleen seuraa jostain positiivisesta ominaisuudesta, on positiviininen.
  3. Aksiooma: Jumalan kaltaisuus on positiivinen ominaisuus.
  4. Aksiooma: Jos ominaisuus on positiivinen, se on välttämättä positiivinen.
  5. Aksiooma: Välttämätön olemassaolo on positiivinen.
  6. Aksiooma: Mille tahansa ominaisuudelle P pätee, että jos P on positiviinen, silloin P on välttämättä postiivinen.

  1. Teoreema: Jos ominaisuus P on positiivinen, se on loogisesti ristiriidaton, ja sille on mahdollista osoittaa tuon omaisuuden toteuttava esimerkki1.

  1. Seuraus: Jumalan kaltaisuuden ominaisuus on loogisesti ristiriidaton.

  1. Teoreema: Jos jokin on Jumalan kaltainen, silloin Jumalan kaltaisena oleminen on tuon olion olemus.

  1. Teoreema: Välttämättä Jumalan kaltaisen olemuksen ominaisuuden toteuttava esimerkki1 on Jumala itse.

Minua kiinnostaa tuo Gödelin todistus, kun se kuulemma on paranneltu versio Anselmin todistuksesta. Paha vaan, että en siitä paljoa saa irti ja suomennoksenikin taitaa olla kökköä ellei peräti virheellinen.

1Edellä kääntämäni sana “esimerkki”, “toteuttava esimerkki” jne tulee englannin sanasta ‘exemplify’. Sillä lienee (modaali)logiikassa tekninen merkitys.

Kaikkea sitä aikaansa näin vapaapäivänä hukkaa.

En enää osaa ajatella numeroitakaan kuin äärimmäisen työläästi, mutta muistaakseni Gödel vain esitti Anselmin todistuksen formaalilla logiikalla ja piti sitä itse vain harjoituksena, ei yrityksenä todistaa Jumalaa matemaattisesti.

Gödel sivusi uskontoa ainakin siinä, että hänen näkemyksensä mukaan ihmisen elämä ei aikarajoitteineen riitä toteuttamaan ihmisen potentiaalia, joten sen on jotenkin jatkuttava. Tähänkin taisi olla jotain matemaattisesti pyöriteltyjä perusteita.

Muuten Gödeliin kannattaa varmaan suhtautua aika puhtaasti matemaatikkona. Nuoruudestani muistelisin, että lennokkaat tulkinnat Gödelin epätäydellisyyslauseista vain ärsyttivät niitä, jotka harjoittivat matematiikkaa. Sen pointti oli kai se, että mikään niin laajaa järjestelmää kuin aritmetiikkaa ei voida todistaa ristiriidattomaksi niin, että x on tosi ja x on epätosi eivät voisi olla voimassa samanaikaisesti. Se ei kuitenkaan mitenkään filosofisesti todistanut mitään sellaista, että maailmassa voisi olla useita totuuksia sen perimmäisestä merkityksestä. Eli Gödelin epätäydellisyyslause koski vain aritmetiikan ja geometrian kaltaisia järjestelmiä, jotka perustuvat joillekin aksioomille, ja pyrkivät niistä lähtien olemaan loogisesti ristiriidattomia.

Tämä seuraava ei ollenkaan pidä paikkaansa, mutta voidaan ajatella, että aritmetiikkaa esittää vain oman näkökulmansa totuuteen. Geometrialla on toinen näkökulma siihen. Nyt jos aritmetiikka on sisäisessä ristiriidassa, niin geometriassa tapahtuu samaan aikaan samassa avaruudessa jotain, joka kumoaa tuon ristiriidan niin, että kokonaisuudessa ristiriitaa ei olekaan. Tämä on siinä mielessä huuhaata, että aritmetiikan ja geometrian välillä tuollaista suhdetta tuskin on. Mutta joka tapauksessa voidaan ajatella, että vaikka aritmetiikan laajuista järjestelmää ei voida todistaa ristiriidattomaksi, niin siitä huolimatta kaikki/kokonaisuus jollain tavalla voidaan. Aritmetiikka järjestelmänä ei vain ole siihen oikea työkalu.

Jotain tommosta :slight_smile:

Ärsyttävät ne minuakin, hiukan kun tuli joskus matematiikkaakin opiskeltua. Yksinkertaistaen sanottuna Gödel todisti tällaista:

  1. Jos kiinnitämme jonkin järkevän aksioomajärjestelmän aritmetiikalle, niin aina löytyy aritmeettisia lauseita, jotka ovat tosia mutta joita tämä aksioomajoukko ei pysty todistamaan tosiksi.

  2. Sopivasti temppuillen voidaan muotoilla aritmeettinen lause P, joka sanoo, että tuo aritmeettinen aksioomajoukko on ristiriidaton. Koska aksioomat on valittu järkeviksi, ne tietenkin ovat ristiriidattomia, ja siksi lause P on tosi. Se on kuitenkin yksi niistä lukuisista lauseista, joita tuo aksioomajoukko ei voi todistaa todeksi.

Tästä päästään mielenkiintoisiin filosofisiin pohdintoihin siitä, miten matemaatikko voi erottaa ristiriitaiset aksioomajärjestelmät ristiriidattomista. Mutta ei siitä sen enempää.

1 tykkäys

Henrikki jo selitti Gödelin tärkeimmän tuloksen pääidean. Sama pätee kaikkiin “riittävän laajoihin” aksioomajoukkoihin. Itsekään en ole tätä koskaan syvällisemmin pohtinut. (Ohjelmoinnin puolellahan vastaava on todeta, että on tietokoneohjelmia joista ei voi tietää pysähtyvätkö ne joskus.)

Anselmin “todistuksessa” oletetaan että olemassaolo on ominaisuus kuten pyöreys ja punaisuus. Ei se niin mene. Samalla tavalla pyöritellen täytyy olla maailman ihanin nainen, joka on vaimoni, koska on oltava ihanuuden ylin aste jne.